Kombinatorika a pravděpodobnost

Kombinatorika

- Kolik existuje různých dvojciferných čísel? Jak takové dvojciferné číslo vypadá?To je přesně typ úlohy, kterou řeší kombinatorika. Existují dvě základní kombinatorická pravidla – součtu a součinu.

Pravidlo součtu- Pravidlo součtu je velice jednoduché – říká nám, že pokud máme množiny A, B, které nemají žádný společný prvek, pak počet všech možných způsobů výběru jednoho prvku ze sjednocení  je roven |A| + |B|, tj. součtu velikostí množin.Začneme nějakým lehkým příkladem. Máme 6 červených míčků a 8 modrých míčků. Tyto míčky vysypeme do jednoho osudí. Kolik máme celkem možností, když budeme losovat jeden míček? Na začátku jsme měli množinu červených míčků, označme jako množinu A, pak množinu modrých míčků, označme B. Tyto množiny jsou disjunktní, tzn., že nemají žádný stejný míček. Chceme vylosovat jeden míček, takže máme celkem |A| + |B| = 6 + 8 = 14 možností. To je celé.

Pravidlo součinu -Máme opět dvě množiny, Z a M. Množina Z obsahuje tři ženy a množina M čtyři muže. Nyní se ptáme, kolik různých párů muž–žena můžeme z těchto množin vytvořit? O co se snažíme – vždy vezmeme jednu ženu a jí přiřadíme nějakého muže. Počet všech párů spočítáme takto: vezmeme jednu ženu, Katku, a postupně k ní přiřadíme všechny muže. Dostaneme tak 4 různé páry, protože k ní můžeme přiřadit celkem 4 různé pány. Totéž uděláme pro zbývající dvě ženy, ty také vytvoří vždy další 4 páry. A to je vše, máme celkem 4 + 4 + 4 = 12 párů. Co jsme ve skutečnosti udělali? Vynásobili jsme velikost obou množin. Měli jsme 3 dámy a 4 pány, celkový počet párů tak je 3 · 4 = 12. Proto kombinatorické pravidlo součinu. Pokud tak máme nějaké dvě množiny, ze kterých tvoříme dvojice, tak zkrátka jen vynásobíme počet prvků jedné množiny s počtem prvků druhé množiny. Dále si můžete prohlédnout, že to skutečně platí. Následují všechny možnosti, jak můžeme 3 ženy a 4 muže uspořádat do párů. Každý řádek představuje možnosti pro jednu z žen a každý sloupec možnosti pro jednoho z pánů. Máme tak tři řádky a čtyři sloupce, celkem řádky · sloupce možností.

[Z1,M1],[Z1,M2],[Z1,M3],[Z1,M4],[Z2,M1],[Z2,M2],[Z2,M3],[Z2,M4],[Z3,M1],[Z3,M2],[Z3,M3],[Z3,M4] 

Pravděpodobnost

- Pravděpodobnost nějakého náhodného jevu nám udává, jakou máme šanci, že daný jev nastane. Typickým příkladem může být hod klasickou hrací kostkou. Můžeme se ptát „jaká je pravděpodobnost, že nám padne číslo pět?“ Pravděpodobnost udáváme buď jako číslo z intervalu ⟨0,1⟩ nebo pomocí procent, tj. od 0 % po 100 %. 

- Definice: O každé opakované činnosti, která je závislá na náhodě, řekneme, že se jedná o náhodný pokus. Například hod kostkou nebo losování sportky je náhodný pokus. Dále potřebujeme množinu všech možných výsledků náhodného pokusu – to jsou všechny možnosti, které mohou u daného náhodného pokusu nastat. Například na kostce mohou padnout čísla od jedné do šesti, takže množina náhodných pokusů, kterou značíme ω (omega), by pro kostku vypadala takto: ω=1,2,3,4,5,6. U sportky by to byly všechny kombinace, které mohou padnout. Každou podmnožinu A⊆ω nazveme (náhodným) jevem. Například jev „na kostce padne sudé číslo“ bychom napsali jako A = {2, 4, 6}. Jev „na kostce padne číslo větší než pět“ bychom napsali jako A = {6} a podobně. Pokud hodíme kostkou (= provedeme pokus) a na kostce padne číslo x, pak pokud x∈A, řekneme, že jev nastal, v opačném případě řekneme, že jev nenastal. Pokud zůstaneme u jevu „na kostce padne sudé číslo“ a padne nám x = 2, pak x∈A, tedy 2∈2,4,6 a jev nastal. Existují dva speciální druhy jevů: jev jistý a nemožný. Jistý jev je, pokud nastane v každém pokusu, což znamená, že A=ω. U kostek by to byl jev „padne číslo menší než 7“. To určitě padne. Opakem je nemožný jev, ten by vypadal A=∅ a slovně např. „na kostce padne květináč“. Inu, květináč nám může během hodu kostkou spadnout ze stolku, ale určitě nám nepadne květináč na kostce, protože tam jsou jen čísla 1 až 6.

Pravděpodobnost jevu:Pravděpodobnost jevu nám říká, jak moc můžeme očekávat, že daný jev nastane. Asi všichni tušíme, že nám na kostce padne nějaké sudé číslo častěji, než přímo číslo pět. Pravděpodobnost nám toto tušení převádí do exaktních čísel. Jako první si řekneme nějaké předpoklady, které budeme potřebovat. Nechť pro náhodný pokus platí:

Všech možných výsledků je konečně mnoho (tj. ω je konečná množina).
Nemohou padnout dva výsledky současně (tj. nemůžeme na kostce hodit číslo 3 a zároveň 6).
Každý výsledek je stejně možný (tj. máme stejně velkou šanci, že hodíme na kostce číslo 4 jako že hodíme číslo 6 nebo 1).
První dvě podmínky jsou poměrně přirozené, poslední je mírně omezující, ale prozatím si s ní vystačíme. Pak můžeme říci, že pravděpodobnost jevu A, označíme P(A), je rovna
P(A)=|A||ω|.
Jinými slovy: počet příznivých výsledků děleno počet všech výsledků. (Ta svislítka v předcházejícím vzorci znamenají velikost množiny.) Pravděpodobnost hodu sudého čísla na kostce by tak byla rovna:
P(Sude)=|2,4,6||1,2,3,4,5,6|=36=12=0,5.
Často udáváme pravděpodobnost v podobě procent – stačí vzít námi spočítanou pravděpodobnost, vynásobit stem a přidat procenta: 0, 5 · 100 % = 50 %. Padesátiprocentní pravděpodobnost nám vlastně říká, že máme stejně velkou šanci, že nám sudé číslo padne, jako že nám nepadne. Což dává smysl, když na kostce máme tři sudá a tři lichá čísla. Jev jistý má pravděpodobnost 1, jev nemožný 0. Proč? Řekli jsme, že pro jistý jev J platí J=ω a pro nemožný jev N platí N=∅. Pokud tyto jevy dosadíme do vzorce, získáme:
P(J)=|ω||ω|=1;P(N)=|∅||ω|=0|ω|=0.